Broccolo romanesco
Quella di Benoit Mandelbrot è forse una delle poche biografie che si potrebbero tranquillamente aprire con l’immagine di un broccolo romanesco senza correre il rischio di offendere nessuno. Questa varietà di cavolo, infatti, è tra gli esempi normalmente usati per illustrare i frattali, un concetto che il matematico polacco ha in un certo senso inventato (o quanto meno ne ha inventato il nome) e a cui ha dedicato una parte importante delle sue ricerche teoriche.
Il broccolo romanesco ha una forma piramidale, che è composta da una serie di piramidi più piccole, disposte a spirale. Se stacchiamo una di queste piramidi più piccole e la osserviamo con attenzione, vediamo che riproduce la forma della piramide più grande ed è a sua volta composta da altre piramidi ancora più piccole, e così via per un certo numero di livelli. Questa proprietà geometrica di riprodurre una certa forma a livelli sempre più piccoli (o più grandi, a seconda del punto di vista), condivisa per esempio anche dai fiocchi di neve, dagli alberi, dai polmoni e da moltissime altre strutture naturali è detta autosimilarità (o, con termine più preciso, omotetia), ed è una delle caratteristiche più note dei frattali. È stato lo stesso Mandelbrot, coniando il termine “frattale”, ad averne proposto (tra varie altre) la seguente definizione: «Un frattale è un oggetto geometrico fatto di parti in un certo senso simili al tutto».
Benoit Mandelbrot durante un TED talk (acronimo per tecnologia, intrattenimento e design)
Nato in Polonia nel 1924, di origine ebraica, Mandelbrot si trasferì nel 1936 con la famiglia in Francia, dove studiò matematica all’università di Lione e all’École polytechnique, e quindi conseguì il dottorato all’università di Parigi nel 1952. Dopo alcune esperienze nel mondo accademico, nel 1959 si trasferì negli Stati Uniti per iniziare a lavorare all’interno del team di ricerca dell’IBM, dove sarebbe rimasto fino al 1994.
Questione di prezzi
Nel 1961, nell’ambito dei suoi studi presso il colosso informatico, cominciò a interessarsi a una questione prettamente economica: l’evoluzione dei prezzi delle materie prime in borsa. Caratterizzata da forti irregolarità e brusche variazioni, l’evoluzione dei prezzi è considerata un classico esempio di un sistema caotico – cioè, semplificando molto, di un sistema che è sì deterministico, ma difficilmente prevedibile, in quanto a piccolissime variazioni delle condizioni iniziali corrispondono enormi differenze degli stati futuri (una caratteristica che in quegli stessi anni il matematico statunitense Edward Lorenz avrebbe sintetizzato nella celebre domanda: «Può il batter d'ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?»).
Analizzando in dettaglio l’evoluzione del prezzo del cotone, Mandelbrot notò che al di sotto delle irregolarità si potevano notare alcuni pattern che si ripetevano su scale diverse: l’aspetto frammentato della linea del grafico di una giornata si riproduceva a livello di una settimana, o di un mese. In seguito il matematico franco-polacco avrebbe ritrovato questa caratteristica anche in altri fenomeni naturali, nelle forme delle turbolenze atmosferiche o nella distribuzione delle galassie. In aspetti così differenti dell’universo sembra esserci all’opera una stesse legge di distribuzione, che riproduce lo stesso motivo a differenti livelli di scala. Secondo Mandelbrot, insomma, alcune forme tipicamente considerate irregolari non sono poi così irregolari, aleatore e caotiche, ma sono attraversate da un ordine soggiacente.
I frattali prima di chiamarsi così
In realtà Mandelbrot non era stato il primo a riflettere sui frattali. In particolare, tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo alcuni famosi matematici avevano creato degli strani oggetti geometrici con delle caratteristiche estranee alla geometria euclidea. Uno degli esempi più celebri è la curva di Peano, una linea che viene prodotta in modo ricorsivo, cioè ripetendo lo stesso procedimento un numero infinito di volte, e le cui regole di costruzione sono più facilmente spiegate dall’immagine qui sotto:
Un esempio di curva di Peano costruita da David Hilbert
Questa linea continua ha la caratteristica di arrivare a coprire interamente la superficie di un quadrato senza lasciare buchi, e quindi non ha una natura propriamente monodimensionale, come ci si aspetterebbe da una linea, ma tende verso la bidimensionalità di un piano. Un altro classico esempio è la curva di Koch, che si ottiene prendendo un segmento, dividendolo in tre parti, sostituendo la parte centrale con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero, e ripetendo l’operazione un’infinità di volte sui nuovi segmenti. Di nuovo, l’immagine è più immediata della spiegazione:
I primi tre passi della curva di Koch
Anche in questo caso l’ente geometrico ottenuto ha delle caratteristiche “bizzarre”: come si può facilmente vedere qui sopra, la lunghezza della curva di Koch aumenta di un terzo a ogni nuova applicazione del procedimento, quindi è potenzialmente infinita ma contenuta all’interno di un’area finita.
Da questa emerge bene un’altra importante proprietà dei frattali, che li differenzia dalle figure geometriche classiche. Se prendiamo un cerchio, ad esempio, più lo ingrandiamo e lo guardiamo da vicino, più tenderà ad assomigliare a una linea retta (un po’ come avviene con la curvatura della terra, che è più difficile da apprezzare a distanza ravvicinata). La curva di Koch invece non è “liscia”, ma ha una struttura fine: a ogni ingrandimento emergono sempre ulteriori dettagli.
Non perderti nessun articolo! Iscriviti alla newsletter settimanale di Storica!
L'arte della rugosità
Se all’epoca queste nuove figure geometriche venivano considerate della bizzarrie (il famoso matematico tedesco David Hilbert le battezzò “curve mostruose”), la grande intuizione di Benoit Mandelbrot fu quella di cogliere che erano invece un modello perfetto per descrivere alcune forme della natura. Nel mondo non vediamo mai davvero coni, sfere, rette. Se vogliamo parlare di montagne, fiocchi di neve, alberi, galassie, fulmini e broccoli, il linguaggio della geometria euclidea non è adeguato, perché descrive delle forme lisce, mentre il mondo ha fondamentalmente una natura “frastagliata”, rugosa, irregolare. A tutte le scale si susseguono cavità e sporgenze, in una serie inesauribile di nuovi dettagli. È quello che Mandelbrot definiva «l’arte della rugosità».
Visione ingrandita di un fiocco di neve
Nel 1975 il matematico coniò il termine "frattale", dal latino fractus, che significa “spezzato”, per descrivere quegli enti geometrici tipo la curva di Koch, che per la loro natura frammentata e non liscia, si prestano meglio a descrivere la complessità della natura. La geometria euclidea, per esempio, non è adeguata a misurare la lunghezza esatta di una costa, perché la costa è un succedersi di rientranze e sporgenze sulle quali si aprono a loro volta ulteriori rientranze e sporgenze, in scala sempre più piccola. Alla domanda “Quanto misurano le coste della Gran Bretagna?”, Mandelbrot affermò in un celebre articolo del 1967 che dipende dalla lunghezza del righello con cui le si misura: più corto è questo righello, più la lunghezza totale tende verso l’infinito, perché sarà possibile scendere a scale sempre più piccole, che faranno emergere nuovi anfratti e nuove sporgenze. La geometria frattale di Mandelbrot offre una formula che consente di calcolare automaticamente quanto è lunga una costa a seconda che venga misurata con un righello, poniamo, di cento chilometri o di cinque metri.
Foto aerea di una costa
L’altra caratteristica fondamentale dei frattali è la ricorsività. A differenza di una linea euclidea, il frattale non è un semplice insieme di punti definiti da un’equazione. La sua costruzione si basa invece su un algoritmo che va applicato un numero infinito di volte ai risultati di volta in volta ottenuti. La formula di Mandelbrot per la costruzione dei frattali è relativamente semplice, ma il matematico franco-polacco ebbe anche un’altra grande intuizione: seppe sfruttare al meglio le possibilità di calcolo offerte dai computer dell’IBM per offrire una visualizzazione grafica del mondo dei frattali, che ha contribuito all’enorme successo di cui hanno goduto questi curiosi enti geometrici negli ultimi anni. Un successo che va ben oltre le questioni puramente matematiche e le considerazioni ultime sulla struttura profonda della natura, e che si è diffuso nell’immaginario popolare grazie alla sua ipnotizzante estetica.
Forse non c’è modo migliore di rendere omaggio alla memoria di Mandelbrot che attraverso la bellezza delle immagini di una delle sue creature più famose, l’insieme che porta il suo nome: una sorta di campionario dell’infinita varietà di forme frattali.
Pentru a putea adăuga comentarii trebuie să fii membru al altmarius !
Alătură-te reţelei altmarius